Question

如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．

（1）试说明BD＝DF；

（2）请写出图中所有的等腰三角形；

（3）线段BD，CE，DE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．                                               

Answer

（1）∵BF平分∠ABC   ∴∠ABF﹦∠CBF  

∵DF∥BC   ∴∠BFD﹦∠CBF   ∴∠ABF﹦∠BFD   ∴BD=DF   …4分

(2) ΔBDF，ΔCEF   …8分

（3）BD=CE+DE  …9分  理由：由（1）知BD=DF，同理CE=EF

∵DF=DE+EF    ∴BD=CE+DE  …12分

【解析】（1）根据角平分线和平行线的性质求证

（2）根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，因此可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形；

（3）由（1）可得出DF=BD，CE=EF，所以得BD-CE=DE．