Question

经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且．

（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：

①如图1，若，，

则        ；          （填“”，“”或“”）；

②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件          ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

Answer

（1）①；；

②所填的条件是：．

证明：在中，．

，．

又，．

又，，

．

，．

又，．

（2）．

【解析】（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|；

②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．

（2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．