Question

如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．

把A、B两点坐标代入上式，得

        解之，得

故抛物线解析式为，顶点为

（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

，

∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．

∵OA是的对角线，

∴．

因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的

取值范围是1＜＜6．

根据题意，当S = 24时，即．

  化简，得  解之，得

故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．

点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；

点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．

当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．

而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形．

【解析】（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．

（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．

①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．

②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，﹣3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．