Question

如图所示，在RtABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，AB=8.半径为的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3.将RtABC绕A点顺时针旋转120°后得到RtADE，点B、C的对应点分别是点D、E.

(1)画出旋转后的RtADE，求出RtADE 的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度；

(2)判断RtADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系（直接写出答案）

Answer

（1）【解析】
如图所示 ，过M作MF⊥PQ于F，连接MP 

             MF=NE=AE-AN=AC-AN=4-3=1   

          在Rt△PFM中， PM2= PF2 +FM2           PF=

          PQ=2

(2)  AD与⊙M相切．

证明：过点M作MH⊥AD于H，连接MN，MA，则MN⊥AE，且MN= 3 ，

在Rt△AMN中，tan∠MAN= ，

∴∠MAN=30°，

∵∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠MAD=30°，

∴∠MAN=∠MAD=30°，

∴MH=MN，

∴AD与⊙M相切．

【解析】（1）把三角形AB旋转120°就能得到图形．

（2）连接MQ，过M点作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的长；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根据垂径定理知QF就是弧长PQ的一半．

（3）过M作AD的垂线设垂足为H，然后证MH与⊙M半径的大小关系即可；连接AM、MN，由于AE是⊙M的切线，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通过解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可证得AM是∠DAE的角平分线，根据角平分线的性质即可得到MH=MN，由此可证得⊙M与AD相切．