Question

如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n^o后得到正方形AEFG，EF与CD交于点O．

（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；

（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为cm²，求旋转的角度n．

Answer

（1）理由见解析（2）30°

【解析】(1)连OA、DE，由ABCD是正方形知AD=AE，所以Rt△ADO≌Rt△AEO，OD＝OE，所以OA垂直平分DE………………………………………………………（6分）

（2）由(1)知Rt△ADO≌Rt△AEO，重叠部分面积S=2S△ADO=2 OD=,

所以OD= ，= ,∠OAD=30°.

所以旋转角n=∠BAE=90°-2∠OAD=90°-60°=30°……………………………（10分）

（1）易证Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠DAO=∠OAE，则问题得证；

（2）四边形AEOD，若连接OA，则OA把四边形评分成两个全等的三角形，根据解直角三角形得条件就可以求出旋转的角度．