Question

如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．

（1）求证：AC²=AB•AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明：∵，∴∠ACD=∠ABC。

又∵∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC。

∴，即AC2=AB•AF。

（2）【解析】
如图，连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°。

又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°。

在Rt△AOE中，OA=2， OE=OAcos60°=1

∴。∴AC=2AE=2。

∴。

（1）由，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC，根据相似得比例可得证。

（2）连接OA，OC，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义求出各线段长即可