Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）²+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．

（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；

（2）当点C与点A重合时，求a的值；

（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？

Answer

（1）A的坐标是（0，1）∠ABO=30°（2）﹣3（3）4秒

【解析】【解析】
（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣，

 ∴OA=1，OB=。∴A的坐标是（0，1）。

∴tan∠ABO=。∴∠ABO=30°。

（2）∵△CDE为等边三角形，点A（0，1），∴tan30°=，∴OD=。

∴D的坐标是（﹣，0），E的坐标是（，0），

把点A（0，1），D（﹣，0），E（，0）代入 y=a（x﹣m）2+n，得

，解得。∴a=﹣3。

（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足。

∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30°，

∴∠BCE=90°，∠ECN=90°。

∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°。∴四边形MPCN为矩形。

∵MP=MN，∴四边形MPCN为正方形。

∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）。

∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ。

∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°。∴∠EMQ，=30°。

∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（﹣3）a。

∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2a。

∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a。

∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣。

∴E（﹣4a﹣，0），C（﹣3a﹣，﹣3a）。

设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）2﹣3a，

∵E在该抛物线上，∴a（﹣4a﹣+3a+）2﹣3a=0，

得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1。

∵a＜0，∴a=﹣1。

∴AF=2，CF=2，∴AC=4。

∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切。

（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的值。

 （2）当C、A重合时，可知点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值。

（3）作出第一次相切时的示意图，已知的条件只有圆的半径，那么连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，从而可求出AC的长，由此得解