Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．

（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？

（2）求证：△ABG∽△BFE；

（3）设AD=a，AB=b，BC=c

    ①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；

    ②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

Answer

（1）不可以，理由见解析（2）证明见解析（3）①a2+b2=ac②45°

【解析】【解析】
（1）不可以。理由如下：

根据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE＜ED。

∴AE＜ED。∴点E不可以是AD的中点。

（2）证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，

∵由折叠知△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG。∴∠EBF=∠BEF。

∴FE=FB，∴△FEB为等腰三角形。

∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB。

在等腰△ABG和△FEB中，

∠BAG=（180°﹣∠ABG）÷2，∠FBE=（180°﹣∠EFB）÷2，

∴∠BAG=∠FBE。∴△ABG∽△BFE。

（3）①∵四边形EFCD为平行四边形，∴EF∥DC。

     ∵由折叠知，∠DAB=∠EGB=90°，∴∠DAB=∠BDC=90°。

     又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。∴△ABD∽△DCB。

∴。

∵AD=a，AB=b，BC=c，∴BD=

∴，即a2+b2=ac。

②由①和b=2得关于a的一元二次方程a2﹣ac+4=0，

由题意，a的值是唯一的，即方程有两相等的实数根，

∴△=0，即c2﹣16=0。

∵c＞0，∴c=4。

∴由a2﹣4a+4=0，得a=2。

由①△ABD∽△DCB和a= b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，

∴∠C=45°。

（1）根据折叠的性质可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE＞EG，从而判断点E不可能是AD的中点。

（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明。

（3）①根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解。

②把b=2代入a、b、c的关系式，根据a是唯一的，可以判定△=c2﹣16=0，然后求出c=4，再代入方程求出a=2，然后由①△ABD∽△DCB和a= b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，得出∠C=45°