Question

如图，在四边形ABCD中，∠DAE=∠ABC= 90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G。设AD=a，BC =b。

求CD的长度（用a，b表示）；

求EG的长度（用a，b表示）；

试判断EG与FG是否相等，并说明理由。

Answer

【解析】
（1）∵∠DAE=∠ABC= 90°，∴DA⊥AB，CB⊥AB。

                 又∵AB为⊙O的直径，∴DA、CB为⊙O的切线。

                 又∵CD是⊙O的切线，AD=a，BC =b，

                 ∴DE= AD=a，CE= BC =b（切线长定理）。∴CD= DE＋CE= a＋b。

（2）∵EF⊥AB，CB⊥AB，∴EF∥CB。∴△DEG∽△DCB。

     ∴，即。∴。

（3）相等。理由如下：

∵EF⊥AB，CB⊥AB，DA⊥AB，∴DA∥EF∥CB。

∴，且△BGF∽△BDA。∴，即。∴。

∴EG=FG。

【解析】切线的判定和性质，切线长定理，平行的判定和性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由已知可得DA、CB和CD都要为⊙O的切线，根据切线长定理即可得出结果。

        （2）由EF⊥AB，CB⊥AB 可得EF∥CB，从而根据相似三角形的判定和性质可求得EG的长度。

        （3）由DA∥EF∥CB，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质可求得FG的长度，与EG的长度比较即可得出结论。