Question

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系

Answer

【解析】
（1）证明：∵四边形AFED是菱形，∴AF=AD。

∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF。

∴∠BAC－∠DAC=∠DAF－∠DAC，即∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF ，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴CF=BD。

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC。

即①BD=CF，②AC=CF+CD。

（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF－CD。理由如下：

由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AC=AB，∠BAD=∠CAF ，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。

∴CF－CD=BD－CD=BC=AC，即AC=CF－CD。

补全图形如下，AC、CF、CD之间的数量关系为AC=CD－CF。

【解析】等边三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质

【分析】（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，由SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可。

（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可。

（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可：

∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠DAB=∠CAF， AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴CF=BD。∴CD－CF=CD－BD=BC=AC。