Question

如图，在坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴重合，点B与原点重合，AB＝10， ∠ABC＝60°．动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q从点D出发沿折线DC－CB－BA以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点P作PF⊥BC，交折线AB－AC于点E，交直线AD于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒．

（1）写出点A与点D的坐标

（2）当t=3秒时，试判断QE与AB之间的位置关系？

（3）当Q在线段DC上运动时，若△PQF为等腰三角形，求t的值；

（4）设△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式；

Answer

（1）  A(5,)  D(15,) 

(2) 当t=3时，EQ⊥ AB

过A作AM//EQ,

 ∵BP=3时，∠B=60°∴BE=6，

∴AE=10－6=4，

∴AE=QM=4,

∴DM=3×3－4＝5，

∴DM=AD，又∵∠ADC=60°，

∴∠AMD=90°，

∴∠AEQ=90°，

∴EQ⊥AB。

（3）P点坐标为（t,0），F坐标为（t, ）,Q（，）

（1）当FQ=PQ时，t= 

 （2）当PF=FQ时，，

∴t1,t2=5(舍)

（3）当PF=PQ时，

∴t1 (舍)，t2=，

∴当t= 或或时，△PQF为等腰△。

（4）0∠t≤时，

      S=10×--

      =-，

       ＜t≤5时，

S=

=+      

        5＜t＜6时，

S=

6＜t时≤，

S=

＜t≤10,

S=

    =-

【解析】（1）利用菱形的边角关系求出A、D点坐标；

（2）过A作AM//EQ,先算出DM的长，然后根据边角的关系得出∠AMD=90°，再根据四边形AEQM是平行四边形得出∠AEQ=90°，从而得出EQ⊥AB。

（3）分PF=FQ、FQ=PQ、PF=PQ三种情况进行讨论；

（4）分五种情况进行讨论。