Question

如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，  延长BC到点F，使FC

＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中正确结论

的个数为（     ） 

①OH＝BF； ②∠CHF＝45°； ③GH＝BC；④DH2＝HE·HB

  A. 1个        B. 2个        C. 3个         D. 4个

Answer

C

【解析】作EJ⊥BD于J，连接EF

①∵BE平分∠DBC ∴EC=EJ， ∴△DJE≌△ECF ∴DE=FE

∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°

∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF∴OH=BF

②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，

∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，

∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，

∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，

∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，

∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正确；

③∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE

∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故此结论不成立；

④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH=22.5°，由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，

∴∠DBH=∠CDF，∵∠BHD=∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴∴DH=HE•HB，故④成立；

所以①②④正确．故选C．