Question

已知直线与轴交于点，与轴交于点，将三角形绕点顺时针旋转90°，使点落在点，点落在点，抛物线过点、、，其对称轴与直线交于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求的正切值；

（3）点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．

Answer

（1）（2）（3）或（，0）

【解析】【解析】
（1）由题意得，

∵△旋转至△，∴，               2分

∵过点、、，

∴，

∴，即抛物线是            2分

【解析】
（2）设对称轴与轴交点为．

∵//轴，

∴∠ =∠

∵抛物线的对称轴为直线                             1分

∴                                              1分

∴，，在Rt△中，==

∴                                            2分

【解析】
（3）∵点在轴上，且△与△相似，

∴点必在点的右侧

∵∠=∠，

∴或,                                  2分

即或，

∴或

∴或（，0）                                     1分

（1）先求出点A、B的坐标，再根据旋转的性质求出点C、D的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；

（2）根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后求出点P的坐标，过点P作PQ⊥x轴，则PQ∥y轴，根据两直线平行，内错角相等可得∠OPQ=∠POC，然后利用点P的坐标，根据锐角的正切值的定义列式计算即可得解；

（3）根据点M在x轴上，且△ABM与△APD相似可知，点M一定在点A的右侧，然后求出AP、AB、AD的长度，因为对应边不明确，所以分①AP和AB是对应边，②AP和AM是对应边，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AM的长度，再根据点A的坐标求解即可．