Question

已知△中，（如图），点到两边的距离相等，且．

（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△的形状，并说明理由；

（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；

（3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

Answer

（1）依题意，点既在的平分线上，又在线段的垂直平分线上．

    如图1，作的平分线，作线段的垂直平分线，与的   

交点即为所求的点。

        是等腰直角三角形．                   

理由如下：过点分别作．，垂足为、（如图2）．

        ∵平分，．，垂足为、，

∴．

又∵ ，

∴ ≌．

∴ ．                                                     

∵，，，

∴， 从而．                                        

又 

∴ 是等腰直角三角形．

（2）如图2，在中，，，，

∴．                                                          

由≌，≌，可得，．

∴．                        

在中，，，，

        ∴．   

∴．                         

所以的周长为：．                      

因为的面积=的面积的面积的面积

        ==

        =（）．                          

【或 ．】

（2）【法1】过点分别作．，垂足为．（图3）．

              易得 ．                          

               由∥得   ①；

由∥得    ②                  

①+②，得 ，即 ．             

∴ ， 即 ．                        

【法2】（前面同法1）又  ，．

              ∴

              ∴．                               

∴ ，即 ．                          

【法3】过点作，垂足为（图4）．

            在中，，                  

由∥得  ①；    ②                    

①+②，得 ，即 ．                 

∴，即 ．                             

【法4】过点作∥，交射线于点（如图5）

易得 ，．             

∵∥，

∴．

∴，．                            

即 ．                                                 

【法5】过点作的平行线，交射线于点 (见图6),

得，，                     

又 ， 即 ，                                

所以 ，                                      

【法6】分别过点、分别作的平行线，交射线于点，交射线于点(见图7)．

得，                                          

又 ，     

∴ ，                                                       

即，．                                      

【解析】（1）利用点既在的平分线上，又在线段的垂直平分线上作图；

（2）先求出AB的长，再求出AC+BC的长，这样三角形ABC的周长就求出来，再利用的面积=的面积的面积的面积求出的面积；

（3）利用等边代换求出结果。