Question

已知⊙、⊙外切于点，经过点的任一直线分别与⊙、⊙交于点、，

（1）若⊙、⊙是等圆（如图1），求证；

（2）若⊙、⊙的半径分别为、（如图2），试写出线段、与、之间始终存在的数量关系（不需要证明）．

  

Answer

【解析】
（1）联结．

∵⊙．⊙外切于点，∴点T在上．                                   

如图，过．分别作．，垂足为、， 

∴ ∥．                                                             

          ∴ ．                   

          ∵⊙．⊙是等圆，∴．    

          ∴，

∴．                         

          在⊙中，

∵ ，

∴．

同理 ．                                                    

          ∴，即．                                           

（2）线段．与、之间始终存在的数量关系是．               

【解析】（1）连接O1O2，如图1所示，根据两圆外切时，两圆心连线过切点，得到O1O2过T点，由垂直得到一对直角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△O1CT与△O2DT，由相似得比例，又两圆为等圆，半径相等可得出，可得出CT=DT，又O1C⊥AT，利用垂径定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代换可得出AT=BT，得证；

（2）线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系是，理由为：连接O1O2，如图2所示，根据两圆外切时，两圆心连线过切点，得到O1O2过T点，由垂直得到一对直角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△O1CT与△O2DT，由相似得比例，将O1T=R，O2T=r代入，得到CT与DT的比值为R：r，又O1C⊥AT，利用垂径定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代换可得出AT与BT的比值为R：r．