Question

如图，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于A、B两点，正比例函数的图像与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM =10，BN =3，

（1）求A、B两点的坐标；（用b表示）

（2）图中有全等的三角形吗？若有，请找出并说明理由。

（3）求MN的长．

Answer

解: （1）直线与轴的交点坐标A为（－b，0），

与轴的交点坐标B为（0，b）   

（2）有，△MAO≌△NOB。理由：

由（1）知OA=OB  

∵AM⊥OQ，BN⊥OQ   ∴∠AMO=∠BNO=90°

∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°

∴∠MAO=∠MOB    

在△MAO和△BON中

∴△MAO≌△NOB  

（3）∵△MAO≌△NOB

∴OM=BN，AM=ON        

∴MN=ON－OM=AM－BN=7

【解析】（1）分别令y=0，x=0来求直线y=x+b（b＞0）与x轴负半轴、y轴正半轴的交点A、B的坐标；

（2）利用全等三角形的判定定理ASA判定△MAO≌△NOB；

（3）根据全等三角形△MAO≌△NOB的对应边相等推知OM=BN，AM=ON，从而求得MN=ON-OM=AM-BN=7．