Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CE与BD相交于点G，GH⊥BC于H. 求证：BH=CH。

Answer

证明：方法一：∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB             

∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴∠ABC+∠BCE=90º，∠ACB+∠CBD=90º               

     ∴∠BCE=∠CBD          

∴BG=CG           

∵GH⊥BC于H

∴BH=CH.          

方法二：∵CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，

∴∠1＝90º＝∠2      

在△AEC和△ADB中

∴△AEC≌△ADB (AAS）

∴∠3=∠4            

∵AB=AC   ∴∠ABC=∠ACB

∴∠ABC－∠3=∠ACB－∠4

即∠5=∠6        

∴BG=CG    

∵GH⊥BC于H    ∴BH=CH.    

【解析】方法一：先根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和得到∠BCE=∠CBD，从而BG=CG，再有GH⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”可得BH=CH.

 方法二：先由AAS证得△AEC≌△ADB，得到∠3=∠4，再由AB=AC据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，从而∠5=∠6，所以BG=CG，再有GH⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”可得BH=CH.