Question

如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．

(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．

(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN²，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

Answer

【解析】
(1)∵A坐标为(1，)，∴OA＝2，∠AOB＝60°。

   ∵甲达到O点时间为t＝，乙达到O点的时间为t＝，

∴甲先到达O点，所以t＝或t＝时，O、M、N三点不能连接成三角形。

①当t＜时，OM＝2－4t，ON＝6－4t，

假设MN∥AB。则△OMN∽△OAB。

∴，解得t＝0。即在甲到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB。

∴MN与AB不可能平行。

②当＜t＜时，

如图，

∵∠PMN＞∠PON＞∠PAB

∴MN与AB不平行。

综上所述，在甲、乙两人到达O点前， MN与AB不可能平行。

(2) 由（1）知，当t≤时，△OMN不相似△OBA。

当t＞时，OM＝4t －2，ON＝4t －6，

由解得t＝2＞，

∴当t＝2时，△OMN∽△OBA。

 (3)①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，

在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°，

∴MH＝OMsin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)，

OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t，

∴NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t。

∴s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。

②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H，

在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝(2t－1)，

NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，

∴s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。

③当t＞时，同理可得s＝16t2－32t＋28。

综上所述，s＝16t2－32t＋28。

∵s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12，

∴当t＝1时，s有最小值为12，

∴甲、乙两人距离最小值为（km）。

【解析】反证法，坐标与图形性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值。

(1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明。

(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。

(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题。