Question

如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′，

(1)求证：四边形OAO′B是菱形；

(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．

Answer

(1)证明：∵点O、O′关于直线y＝x＋b的对称，

∴直线y＝x＋b是线段OO′的垂直平分线，∴AO＝AO′，BO＝BO′。

又∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB。

∴AO＝AO′＝BO＝BO′。∴四边形OAO′B是菱形．

 (2)【解析】
如图，设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是

N(－b，0)，P(0，b)，AB与OO′相交于点M。

则△ONP为等腰直角三角形，∴∠OPN＝45°。

∵四边形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN。

∴△OMP为等腰直角三角形。

当点O′落在圆上时，OM＝OO′＝1。

在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP＝，即b＝。

【解析】一次函数综合题，线段中垂线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

(1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO＝AO′，BO＝BO′，从而得AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案。

(2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可。