Question

如图，已知抛物线经过A（3，0）、B（0，4）

（1）求此抛物线的解析式;

（2）若抛物线与轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点的坐标;

（3）若点C是第二象限内一点，以点D为圆心的圆分别与轴、轴、直线AB相切于点E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大？若存在，求出该最大值;若不存在，请说明理由。

Answer

（1）（2）（，）（3）存在，

【解析】【解析】
（1）由题意得：     解得：

   ∴抛物线解析式为.················· 3分

（2）令，得

解得：，=3.

∴C点坐标为（1，0）.  ············· 4分

作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ=Q，则点

就是点C关于直线AB的对称点．

由△ABC的面积得：

,

∵CA=2，

∴CQ=，=.  ························· 6分

作T⊥轴，垂足为T，则△∽△BOA.

∴    ∴=，=

∴=1+=  ∴点的坐标为（，） ··········· 8分

（3）设⊙D的半径为，∴AE=+3，BF=4－，HB=BF=4－.

∵AB=5，且AE=AH,

∴+3=5+4－,

∴=3．    ············· 10分

HB=4－3=1.

作HN⊥轴，垂足为N，

则，,

∴HN=，BN=,

∴H点坐标为（，）.······ 12分

根据抛物线的对称性，得PA=PC,

∵,

∴当H、C、P三点共线时，最大.

∵HC==,

∴的最大值为.

（1）用待定系数法求得抛物线解析式

（2）求出C点坐标，作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ=C'Q，则点C’就是点C关于直线AB的对称点．通过△ABC的面积，求出，作T⊥轴，垂足为T，通过△∽△BOA. 求出、，从而得出结论

（3）设⊙D的半径为，通过AB=5，且AE=AH,求得=3，作HN⊥轴，垂足为N，通过△HNB∽△OAB，求得H点坐标，根据抛物线的对称性，得PA=PC, 当H、C、P三点共线时，最大.利用勾股定理求出HC的长，即为最大值