Question

如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，BC＝8，AB＝3，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动，在点P、Q的运动过程中，以PQ为边作等边△EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧，点P、Q同时出发，点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）。

（1）设PQ的长为y，写出y与t之间的函数关系式（写出t的取值范围）。

（2）当BP＝1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积。

（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由。

Answer

（1）0≤t≤4时，y＝2t，4＜t≤8时，y＝8

【解析】（1）0≤t≤4时，y＝2t

4＜t≤8时，y＝PM＋MQ＝8－t＋t＝8

（2）当BP＝1，有两种情形

①如图，若点P从点M向点B运动，有MB＝BC＝4，MP＝MQ＝3

∴PQ＝6，连结EM

∵△EPQ是等边△，∴EM⊥PQ ∴EM＝3

∵AB＝3，∴点E在AD上

∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为9。

②若点P从点B向点M运动，由题意得t＝5

∴PQ＝8，PC＝7，设PE与AD交于点F，QE与AD或AD延长线交于G，过点P作PH⊥AD于点H，则HP＝3，AH＝1，Rt△AFP中∠HPF＝30°

∴HF＝3，PF＝6 ∴FG＝FE＝2

又∵FD＝2，∴点G与点D重合

如图∴此时△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是梯形FPCG，其面积为。

（3）能 4≤t≤5

（1）由题意得当0≤t≤4时，y与t之间的函数关系式是y＝2t

（2）当BP＝1，有两种情形：①若点P从点M向点B运动，②若点P从点B向点M运动，进行求解

（3）根据点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动，在点P、Q的运动过程中，以PQ为边作等边△EPQ，BC＝8，可知当T运动到4-5时，被覆盖线段的长度会达到最大值