Question

已知：如图，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F　，使CF＝CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．

⑴ 求证：△BCE≌△DCF；

⑵ OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；

⑶ 若GE·GB＝4－2，求　正方形ABCD的面积．

  

Answer

（1）证明：∵BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，CE=CF，

∴△BCE≌△DCF．                                                   

（2）【解析】
OG=BF．

理由如下：∵△BCE≌△DCF，

∴∠CEB=∠F，

∵∠CEB=∠DEG，

∴∠F=∠DEG，

∵∠F+∠GDE=90°，

∴∠DEG+∠GDE=90°，

∴BG⊥DF，

∴∠BGD=∠BGF，

又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，

∴△BGD≌△BGF，

∴DG=GF，

∵O正方形ABCD的中心，

∴DO=OB，

∴OG是△DBF的中位线，

∴OG=BF．                                                    

（3）【解析】
设BC=x，则DC=x，BD=x，

由（2）知，△BGF≌△BGD，

∴BF=BD，

∴CF=（-1）x，

∵∠DGB=∠EGD，∠DBG=∠EDG，

∴△GDB∽△GED，

∴，

∴GD2=GE•GB=4-2，

∵DC2+CF2=（2GD）2，

∴x2+（-1）2x2=4（4-2）2，

（4-2）x2=4（4-2），

x2=4，

正方形ABCD的面积是4个平方单位．                      

【解析】（1）根据全等三角形的判定方法寻找条件．

（2）因为O是BD的中点，结合已知条件，知道证明G是DF中点即可．

（3）要求正方形的面积，求出边长的平方即可，为此要找到一个关于边长的方程，因为已知中有直角，根据勾股定理，结合已知条件，列出方程，求出答案．