Question

如图，在△ABC中，AC = BC，AB = 8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC = MN．设AM = x．

（1）如果CD = 3，AM = CM，求AM 的长；

（2）如果CD = 3，点N在边BC上．设CN = y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果∠ACB = 90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线段ME的长是否会改变？说明你的理由．

Answer

（1）（2），（3）线段ME的长不变，理由见解析

【解析】【解析】
（1）∵  AC = BC，∴  ∠A =∠B．

∵  AC = BC，CD⊥AB，∴  ．……………………（1分）

由勾股定理，得  ．………………（1分）

∵  AM = CM，∴  ∠A =∠ACM．

即得  ∠ACM =∠B．

∴  △ACM∽△ABC．…………………………………………………（1分）

∴  ．∴  ．即得  ．………………（1分）

（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．

由  AM = x，得  BM = 8 –x．

∵  MF⊥BC，CD⊥AB，

∴∠MFB =∠ADC = 90°．

又∵  ∠A =∠B，∴  △MBF∽△ACD．……………………………（2分）

∴  ．即得  ．

∴  ．

∴  ．…………………………（1分）

∵  MC = MN，MF⊥BC，

∴  ．

即得  ．……………………………………………………（1分）

定义域为  ．………………………………………………（1分）

（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．…………（1分）

由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．

（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．

∵  AC = BC，∠ACB = 90°，∴  ∠A =∠B = 45°．

又∵  AC = BC，CD⊥AB，AB = 8，

∴  CD = BD = 4．

即得  ．

∵  MC = MN，∴  ∠MCN =∠MNC．

∵  ∠MCN =∠MCD +∠BCD，∠MNC =∠B +∠BMN，

∴  ∠MCD =∠NME．

又∵  CD⊥AB，NE⊥AB，∴  ∠CDM =∠MEN = 90°．

∴  △MCD≌△MNE（A．A．S）．

∴  ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）

（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．

于是，由  ∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°，

          ∠BCD =∠MCD +∠MCN = 45°，

          ∠MCN =∠MNC，

得  ∠MCD =∠BMN．

再由  MC = MN，∠CDM =∠MEN = 90°，

得  △MCD≌△MNE（A．A．S）．

∴  ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）

∴ 由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．

（1）由勾股定理求得AC=5，然后利用相似三角形的相似比求出；

       （2）证明△MBF∽△ACD，可得；

    （3）注意点N在射线CB上，应该包括两种情况：点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．