Question

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90º，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30º；②AC=2AB；③S_△ADC=2S_△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是

 

A. ①②③      B. ②③④      C. ①③④     D. ①②③④

Answer

D

【解析】在直角三角形ABC中，∵AB=，BC=3，∴tan∠ACB=．∴∠ACB=30°．

∴∠BAC=60°，AC=2AB=4．②是正确的.

∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形．∴CE=AD=2．∴BE=1．

在直角三角形ABE中，tan∠BAE=，∠BAE=30°．∴∠CAE=30°．①是正确的.

∴AE=2BE=2．∵AE=CE，∴平行四边形ADCE是菱形．∴∠DCE=∠DAE=60°．∴∠BAE=30°

又∵∠CAE=30°∴∠BAO=60°又∵AB=AO ∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO=60°．

∴∠OBE=30°．∴BO⊥CD．④是正确的．

∵AD∥BC，AD=2BE．∴S△ADC=2S△ABE，③是正确的．∴①②③④都是正确的，故选D