Question

如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG.

1.求证：AB⊥CD；

2.若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半径长.

Answer

1.证明：如图，连接OF，

∵HF是⊙O的切线，

∴∠OFH = 90°.

即∠1 + ∠2 = 90º.

∵HF =HG，∴∠1 = ∠ HGF.

∵∠ HGF = ∠3，∴∠3 = ∠1.

∵OF =OB，∴∠B = ∠2.

∴∠ B + ∠3 = 90º.

∴∠BEG = 90º.

∴AB⊥CD.

2.【解析】
如图，连接AF，

∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，

∴∠AFB = 90º.

即∠2 +∠4 = 90º.

∴∠HGF = ∠1=∠4=∠A.

在Rt△AFB中，AB ==4 .

        ∴⊙O的半径长为2.

【解析】

1.利用FH=HG得出∠3 = ∠1，OF=OB得出∠B = ∠2，从HF是⊙O的切线

得出∠1 + ∠2 = 90º，从而得出∠ B + ∠3 = 90º，从而证出AB⊥CD；

2.利用直角三角形勾股定理求出AB的长度，从而得出圆的半径。