Question

如图1，点C、B分别为抛物线C₁：y₁=x²+1，抛物线C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C₁、C₂于点A、D，且AB=BD．

1.求点A的坐标：

2.如图2，若将抛物线C₁：“y₁=x²+1”改为抛物线“y₁=2x²+b₁x+c₁”．其他条件不变，求CD的长和a₂的值；

3.如图2，若将抛物线C₁：“y₁=x²+1”改为抛物线“y₁=4x²+b₁x+c₁”，其他条件不变，求b₁+b₂的值　2　（直接写结果）．

Answer

1.如图，连接AC、BC，设直线AB交y轴于点E，

∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C1、C2的顶点，

∴AC=BC，BC=BD，

∵AB=BD，

∴AC=BC=AB，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACE=30°，

设AE=m，

则CE=AE=m，

∵y1=x2+1，

∴点C的坐标为（0，1），

∴点A的坐标为（﹣m，1+m），

∵点A在抛物线C1上，

∴（﹣m）2+1=1+m，

整理得m2﹣m=0，

解得m1=，m2=0（舍去），

∴点A的坐标为（﹣，4）；（3分）

2.如图2，连接AC、BC，过点C作CE⊥AB于点E，

设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x﹣h1）2+k1，

∴点C的坐标为（h1，k1），

设AE=m，

∴CE=m，

∴点A的坐标为（h1﹣m，k1+m），

∵点A在抛物线y1=2（x﹣h1）2+k1上，

∴2（h1﹣m﹣h1）2+k1=k1+m，

整理得，2m2=m，

解得m1=，m2=0（舍去），

由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，

∵AB=2AE=，

∴CD=，

即CD的长为，

根据题意得，CE=BC=×=，

∴点B的坐标为（h1+，k1+），

又∵点B是抛物线C2的顶点，

∴y2=a2（x﹣h1﹣）2+k1+，

∵抛物线C2过点C（h1，k1），

∴a2（h1﹣h1﹣）2+k1+=k1，

整理得a2=﹣，

解得a2=﹣2，

即a2的值为﹣2；（3分）

3.根据（2）的结论，a2=﹣a1，

CD=﹣﹣（﹣）=+=，

根据（1）（2）的求解，CD=2×，

∴b1+b2=2．（4分）

【解析】（1）连接AC、BC，根据二次函数图象的对称性可得AC=BC，BC=BD，再根据已知条件AB=BD，可以证明得到△ABC是等边三角形，所以∠ACE=30°，然后设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长，再根据抛物线C1：y1=x2+1求出点C的坐标，从而表示出点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线C1的解析式，然后解关于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到点A的坐标；

（2）过点C作CE⊥AB于点E，设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x﹣h1）2+k1，然后表示出C的坐标，再设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长度，从而得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线C1，整理后解关于m的一元二次方程，再根据（1）的结论即可求出CD的长；根据CD的长求出CE的长度，然后表示出点B的坐标，根据点B在是抛物线C2的顶点，从而得到抛物线C2的顶点式解析式，然后根据点C在抛物线C2上，把点C的坐标代入抛物线C2的解析式，整理求解即可得到a2的值；

（3）根据（1）（2）的结论可知，a2=﹣a1，然后利用两抛物线的对称轴表示出CD的长度，再根据（1）（2）的求解过程可得CD=2×，然后代入进行计算即可得解．