Question

如图，将一把直角三角板的直角顶点放置于原点O，两直角边与抛物线交于M、N两点，设M、N的横坐标分别为m、n（m﹥0，n﹤0）；请解答下列问题：

1.当m=1时，n=__ ▲  ； 当m=2时，n=__ ▲  试猜想m与n满足的关系，并证明你猜想的结论。

2.连接M、N，若△OMN的面积为S，求S关于m的函数关系式。

3.当三角板绕点O旋转到某一位置时，恰好使得∠MNO=30°，此时过M作MA⊥x轴，垂足为A，求出△OMA的面积

4.当m=2时，抛物线上是否存在一点P使M、N、O、P四点构成梯形，若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer

1.当m=1时，n= -1；（1分） 当m=2时，n=；（1分）

 m与n满足的关系：    （1分）

证明：作NB⊥x轴，垂足为B，则△OMA∽△NOB；∵M（） N  ∴

整理得：    （1分）

2.S=====     （2分）

（注：还有其他方法）

3.∵∠MNO=30°，∴   又∵△OMA∽△NOB，∴     （1分）

将代入得                （1分）

∴△OMA的面积===        （1分）

4.        （3分）

【解析】(1)作NB⊥x轴，垂足为B，利用△OMA∽△NOB，推出；

（2）根据三角形的面积公式及（1）的结论得出S关于m的函数关系式；

（3）利用△OMA∽△NOB算出的值，然后根据三角形面积公式得出结果；

（4）P点有三种可能，PO∥MN,PN∥OM,PM∥NO，利用平行线计算出P点的坐标.