Question

如图，过上到点的距离为1，3，5，7，…的点作的垂线，分别与相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为…．则         ；通过计算可得       

Answer

【解析】设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，

则上底长为btan∠AOB，下底长为atan∠AOB，

∴Sn=b×btan∠AOB- a×atan∠AOB= （b2-a2），

又∵梯形1距离点O的距离a=1，b=3，

∴S1=（32-12）= ；

  第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，

2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，

下底为第2008×2+2个奇数，

∴第2009个梯形的两边长分别为：

a=2×（2008×2+1）-1=8033，

b=2×（2008×2+1）+1=8035，

故S2009=  （80352-80332）=5356 ．

故答案为、5356。