Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD。

1.求证：∠CDE=2∠B；

2.若BD：AB=，求⊙O的半径及DF的长。

Answer

1.证明：连接OD………………………1分

∵直线CD与⊙O相切于点D

∴OD⊥CD

∴∠CDO=90°

∴∠CDE+∠ODE=90°……………………2分

2.

∴在直角三角形ADB中，cosB==

∴∠B=30°……………………6分

∴∠AOD=2∠B =60°

又∵∠CDO=90°

∴∠C=30°……………………7分

∵在直角三角形CDO中，CD=10

∴OD=10tan30°=

即⊙O的半径为……………………8分

在直角三角形CDE中，CD=10, ∠C=30°

∴DE=CDsin30°=5……………………9分

∵弦DF⊥直径AB于点E

∴DE=EF=DF

∴DF=2DE=10……………………10分

【解析】（1）连接OD，根据弦切角定理得∠CDE=∠EOD，再由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠CDE=2∠B；

（2）连接AD，根据三角函数，求得∠B=30°，则∠EOD=60°，推得∠C=30°，根据∠C的正切值，求出圆的半径，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，从而得出DF的长．

【解析】略