已知抛物线L：（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线上；（2）...

已知抛物线L：

（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线上；

（2）已知时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最大值时k的值；

（3）在（2）A、B间距取得最大值条件下（点A在点B的右侧），直线y=ax+b是经过点A，且与抛物线L相交于点D的直线. 问是否存在点D，使△ABD为等边三角形，如果存在，请写出此时直线AD的解析式；如果不存在，请说明理由.

（1）见解析（2）2（3）存在，理由见解析【解析】（1）抛物线L的顶点坐标C是（，）……2分将顶点坐标C代入左边= 右边== 左边=右边所以无论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线上. ……3分（2）已知时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B 设，，依题意 ……5分由此可知，当k=-2时，AB达到最大值，而k=-2恰好在内，所以A、B间距取得最大值时k的值为2 ……8分 (3)存在。 ……9分因为若△ABD是等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上。又因为点D在抛物线上，所以若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点.. 当k=-2时，抛物线L为，顶点D（-2，-3）解方程，得，所以（），（）如图，在△ABD中，DB=DA D为AB中点， AB=， ∴AD=， ∴∠BAD=60° ∴△ABD为等边三角形 ……12分因为直线在（）、D（）D，所以依题意把k=2代入解得，所以所求为……14分（2）方法二：设，，由根与系数关系，得， ……6分由此可知，当k=-2时，AB达到最大值，而k=-2恰好在内，所以A、B间距取得最大值时k的值为2 ……8分（1）利用顶点坐标求证（2）设，，求出AB 的长，从而求出k的值（3）因为若△ABD是等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上。又因为点D在抛物线上，所以若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点，通过AB的长求出AD的长，通过（）、D（），求出直线AD的解析式

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考点分析：

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如图，在一个边长为1的正方形网格上，把△ABC向右平移4个方格，再向上平移2个方格，得到△A′B′C′（A′ B′分别对应A、B）．

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