Question

已知抛物线＝＋＋－4．

（１）当＝２时，求出此抛物线的顶点坐标；

（２）求证：无论为什么实数，抛物线都与轴有交点，且经过轴上的一定点；

（３）已知抛物线与轴交于Ａ（₁，0）、Ｂ（₂，0）两点（Ａ在Ｂ的左边），|₁|＜|₂|，与轴交于C点，且Ｓ_△ABC＝１５．问：过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标．

Answer

（１）（－１，－１）（２）当≥４时，当＜４时（３）有第四个交点，（１，－６）

【解析】【解析】
（１）当＝２时，抛物线为＝＋，…………………………１分

配方：＝＋＝＋＋１－１

得＝－１，

∴顶点坐标为（－１，－１）；………………………………………………３分

（也可由顶点公式求得）

（２）令＝０，有＋＋－4＝０，………………………………４分

此一元二次方程根的判别式

⊿＝－４·（－４）＝－＋１６＝，…………………５分

∵无论为什么实数，≥０，

方程＋＋－4＝０都有解，…………………………………………６分

即抛物线总与轴有交点．

由求根公式得＝，………………………………………………７分

当≥４时，＝，

1＝＝－２，2＝＝－＋２；

当＜４时，＝，

1＝＝－＋２，2＝＝－２．

即抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０），

而点（－２，０）是轴上的定点；…………………………………………８分

（３）过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线有第四个交点．…………………９分

设此点为Ｄ．∵|1|＜|2|，C点在y轴上，

由抛物线的对称，可知点Ｃ不是抛物线的顶点．……………………………１０分

由于圆和抛物线都是轴对称图形，

过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形．……………………１１分

∵轴上的两点Ａ、Ｂ关于抛物线对称轴对称，

∴过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线的第四个

交点Ｄ应与C点关于抛物线对称轴对称．……………………………………１２分

由抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０）：

当－２＜－＋２，即＜４时，…………………………１３分

Ａ点坐标为（－２，０），Ｂ为（－＋２，０）．

即1＝－２，2＝－＋２．

由|1|＜|2|得－＋２＞２，解得＜０．

根据Ｓ△ABC＝１５，得ＡＢ·ＯＣ＝１５．

ＡＢ＝－＋２－（－２）＝４－，

ＯＣ＝|２－４|＝４－２，

∴（４－）（４－２）＝１５，

化简整理得＝０，

解得＝７（舍去）或＝－１．

此时抛物线解析式为＝，

其对称轴为＝，Ｃ点坐标为（０，－６），

它关于＝的对称点Ｄ坐标为（１，－６）；………………………………１４分

当－２＞－＋２，由Ａ点在Ｂ点左边，

知Ａ点坐标为（－＋２，０），Ｂ为（－２，０）．

即1＝－＋２，2＝－２．

但此时|1|＞|2|，这与已知条件|1|＜|2|不相符，

∴不存在此种情况．

故第四个交点的坐标为（１，－６）．

（如图６）

（１）把＝２代入抛物线，通过配方可求得此抛物线的顶点坐标

（2）令y=0，解方程＋＋－4，即可求出抛物线与x轴两交点的横坐标，定点为与k值无关的点；

（3）过A、B、C三点的圆与抛物线有第四个交点D，根据A、B、C三点坐标，讨论k的范围，表示△ABC的面积，列方程求k，再根据对称性求D点坐标