Question

如图，正方形ＡＢＣＤ的边长是４，∠ＤＡＣ的平分线交ＤＣ于点Ｅ，点Ｐ、Ｑ分别是边ＡＤ和ＡＥ上的动点（两动点都不与端点重合）．

（１）ＰＱ＋ＤＱ的最小值是　　　　　　　；

（２）说出ＰＱ＋ＤＱ取得最小值时，点Ｐ、点Ｑ的位置，并在图８中画出；

（３）请对（２）中你所给的结论进行证明．

Answer

（１） （２）过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ（３）证明见解析

【解析】【解析】
（１） ；…………………………………………………………２分

（２）如图４，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足为Ｆ，………………………３分

ＤＦ与ＡＥ的交点即为点Ｑ；………………………………………………４分

过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ；……………………………………５分

（３）由（２）知，ＤＦ为等腰Ｒt△ＡＤＣ底边上的高，

∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分

∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ为ＡＥ上的点，

且ＱＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于点Ｐ，

∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分线性质定理），……………………………………７分

∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．

下面证明此时的ＰＱ＋ＤＱ为最小值：

在ＡＥ上取异于Ｑ的另一点Ｑ１（图5）．…………………………………９分

①过Ｑ１点作Ｑ１Ｆ１⊥ＡＣ于点Ｆ１，………………………………………１０分

过Ｑ１点作Ｑ１Ｐ１⊥ＡＤ于点Ｐ１，…………………………………………１１分

则Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＝Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１，

由“一点到一条直线的距离”，可知，垂线段最短，

∴得Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＦＱ＋ＤＱ，

即Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分

②若Ｐ２是ＡＤ上异于Ｐ１的任一点，………………………………………１３分

可知斜线段Ｐ２Ｑ１＞垂线段Ｐ１Ｑ１，………………………………………１４分

∴Ｐ２Ｑ１＋ＤＱ１＞Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．

从而可得此处ＰＱ＋ＤＱ的值最小．

此题考核正方形的性质，利用垂线段最短求证最小值