Question

如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.

（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.  （其中点E和点A，点C和点B分别是对应点）

Answer

（1）k=4，，（2）（8，），或（2，）

【解析】【解析】
（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4. …………1分

 故双曲线的函数表达式为.…………2分

设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，

则有    解得，.…………3分

于是，直线AB与y轴的交点坐标为，…………4分

故，整理得，…………5分

解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．…………6分

因为点A，B都在抛物线（a0）上，

所以 解得   …………7分

（2）如图，

因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.

设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.

因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.…………9分

（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.

延长到点，使得=，

这时点（8，）是符合条件的点. …………12分

（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．

所以，点的坐标是（8，），或（2，）.         …………14分

思考：如果不写对应，是否还有点？

（1）把点A的坐标代入可求得k的值，根据△AOB的面积求得点B坐标，把点A，B的坐标代入，可求得a，b，的值；

（2）分两种情况（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△，（ii）作△关于x轴的对称图形△，进行解答