Question

如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °

，则有结论EF＝BE＋FD成立；                                                                                                   1.如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

2.若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

Answer

1.结论EF= BE＋FD成立.

延长EB到G，使BG=DF，连接AG.

∵∠ABG＝∠D＝90°, AB＝AD，

∴△ABG≌△ADF.

∴AG＝AF且∠1＝∠2．

∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

又AE＝AE，

∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．

即EF=BE+BG=BE＋FD．

2.结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．

在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

应当是EF=BE－FD．

在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADF．

∵AB＝AD，

∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF．

∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

∵AE＝AE，

∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF

即EF=BE－BG=BE－FD．

【解析】

1.结论仍然成立．延长CB到G，使BG=FD，根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，进一步得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立；

2.结论不成立，应为EF=BE-DF，如图在CB上截取BG=FD，由于∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，可以得到∠B=∠ADF，再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，再根据全等三角形的性质就可以证明EF=EG=EB-BG=EB-DF．