Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．

1.求抛物线对应的函数关系式；

2.若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由

3.在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．请求出点P的坐标．

4.在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连结PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.∵抛物线经过B（0，4），∴，------1分

 ∵顶点在直线上，∴，，

∴所求函数关系式为： --------------------------------------2分

2.在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴，

∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，

 ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．---------------------------------3分 

当时，，-----------------------------------------4分

当时，，

∴点C和点D在所求抛物线上．--------------------------------------------------5分

3.设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， --------------------------6分

设直线CD对应的函数关系式为，

则，解得：，

∴，---------------------7分

当时，，∴P（，），-------------------8分

4.∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，

∴，，，---------------9分

设对称轴交x轴于点F，则，

∵，，

∴（-------------10分

由，

∴当时，S取得最大值为，-----------------11分

此时点M的坐标为（0，）．

【解析】此题考核二次函数的综合应用

（1）   通过B（0，4），顶点在直线上，求出函数关系式

（2）   通过勾股定理和菱形性质求出C、D两点的坐标，代入函数关系式求证

（3）   通过C、D两点的坐标, 求出直线CD对应的函数关系式,从而求出点P的坐标

通过△OMN∽△OBD，求得，再通过面积求得S与t的函数关系式，从而求得最大值和M点的坐标