Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合．连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．

Answer

线段BE和EC的数量关系是：BE＝EC，……1分

位置关系是：BE⊥EC．  …………………………2分

证明如下：

∵∠BAC＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，

∴∠BAE＝90°＋45°＝135°，∠CDE＝180°－45°＝135°，

∴∠BAE＝∠CDE，          ……………………………………………………4分

又∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AD＝DC，………………………………6分

而AE＝DE，∴△ABE≌△DCE， …………………………………………………5分

∴BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，  ……………………………………………………7分

∴∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝∠AED＝90°，…………………8分

∴BE⊥EC．     ………………………………………………………………………9分

 【解析】先用边角边证明△ABE与△EDC全等证出BE=CE，然后用角的等量代换证明∠DEC=90°,从而得出BE⊥EC