Question

问题：如图（12），在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段 的中点，连结．探究与的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

1.若图（12）中，写出线段与的位置关系及的值，并说明理由；

2.将图（12）中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图13）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

3.若图（12）中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．

【解析】
（1）线段与的位置关系是          ；         ．

Answer

1.线段与的位置关系是， ；………………………………4分

2.猜想：（1）中的结论没有发生变化．   ………………………………………5分

简证：延长GP交AD于点H，连结CH，CG．

易证△GFP≌△HDP（AAS）．

 ∴GP＝HP，GF＝HD．

又易证△HDC≌△GBC

∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．

∵∠DCH ＝120°．

∵CH＝CG，GP＝HP．

∴ GP⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60° ，则．……………………10分

3.   ………………………………………………………12分

【解析】（1）.按照小聪的思路作完图之后，GF平行于AB平行于CD,P又是中点，∠HDP=∠GFP, ∠HPD=∠GPE,P为中点，所以△HDP全等于△GFP,这样DH=GF,所以CH=CG，则有等腰△CHG，有P为HG中点,所以PC⊥PG,因为菱形ABCD∠ABC=60°度所以∠DCB=120 °CP为角平分线，∠ PCG=60°PG:PC=√3

（2） 结论不变。延长CP交AB于M，连CG,MG。因为P是DF重点，所以DC=MF，CP=MP。有MF=CD=BC。考虑△CGB与△MGF，有BC=MF，∠CBG=∠MFG=60°，BG=GF，因此两三角形全等。从而CG=MG，∠CGB=∠MGF。因为∠CGB=∠CGM+∠GMB=∠MGF=∠FGB+∠BGM，因此∠CGM=∠FGB=60°，又有CG=GM，所以△CGM是等边三角形，且P是CM中点，从而原结论在此也成立。

（3） 延长CP至M，使PM=PC，连MF交BG于N。易知CD‖MF‖AB。与上小问类似，可知MF=DC=BC，FG=BG。因为MF‖AB，有∠ABG=∠MNG，而∠ABG=∠ABC+∠CBG，∠MNG=∠BGF+∠GFM。因为∠ABC=∠BEF=∠BGF，所以∠CBG=∠MFG。又有BG=FG，MF=BC，所以△CBG与△MFG全等。因此与上小问类似，有CG=MG，∠CGM=∠FGB=2a。因此∠CGP=a且PG⊥PC，因此PG:PC=cot(a).