Question

如图（3），在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点O,过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连结PO并延长与射线AE相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R.  下面五个结论，正确的有(   )个

①△AOB≌△COB；    ②当0<x<10时，△AOQ≌△COP；   ③当x =5时，四边形ABPQ是平行四边形；④当x =0或x =10时，都有△PQR∽△CBO；⑤当时，△PQR与△CBO一定相似.

A．2       B．3        C．4          D．5

Answer

C

【解析】①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，∴AO=CO，AB=BC，BO=BO，∴△AOB≌△COB；故此选项正确；

②∵AE∥BC，∴∠AQO=∠OCP，∵AO=CO，∠AOQ=∠POC，∴当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；故此选项正确；

③当x=5时， ∴BP=PC=5，∵AQ=PC，∴AQ=PB=5，∵AQ∥BC，∴四边形ABPQ是平行四边形；故此选项正确；

④当x=0时，P与B重合，∴∠OBC=∠QPR，又∵∠BOC=∠PRQ=90°，∴△COB∽△QRP；当x=10时，P与C重合，此时Q与A重合，R与R′重合，∵∠QPR=∠BOP，∠QRP=∠BOC=90°，∴△QRP∽△BOC，都不是△PQR∽△CBO，即对应顶点不对，故此选项错误；

⑤当x=时，∵BC=8，CO=6，∴BO=8，∵BP=2.8，∴PC=7.2， BC×AR′=BO×AC，∴AR′=QR=9.6，∴QR：BO=PC：CO=1.2，∴△PQR与△CBO一定相似．故此选项正确．故正确的有4条．故选C．