Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90⁰，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA、OB的中点分别为点E、F

1.求证：

2.求的值（3分）

3.若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，求的值（3分）

Answer

1.证明：∵EF是△OAB的中位线，

∴EF∥AB，EF=AB，

而CD∥AB，CD=AB，

∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，

∴△FOE≌△DOC；（3分）

2.【解析】
∵在Rt△ABC中，AC===BC，

∴sin∠OEF=sin∠CAB===；（3分）

3.【解析】
∵AE=OE=OC，EF∥CD，

∴△AEG∽△ACD，

∴==，即EG=CD，

同理FH=CD，

∴==．（3分）

【解析】（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；

（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；

（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．