Question

在直角梯形中，，为边上一点，，且．连接交对角线于，连接．下列结论：

①；②为等边三角形；

③； ④.  其中结论正确的是

A．只有①②        B．只有①②④

C．只有③④        D．①②③④

Answer

B

【解析】由题意可知△ACD和△ACE全等，故①正确；

又因为∠BCE=15°，所以∠ACE=45°﹣15°=30°，所以∠ECD=60°，所以△CDE是等边三角形，故②正确；

∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等边三角形，

∴∠EAH=∠AHD=45°，AD=AE，

∴AH=EH=DH，AH⊥DE，

假设AH=EH=DH=x，

∴AE=x，CE=2x，

∴CH=x，

∴AC=（1+）x，

∵AB=BC，

∴AB2+BC2=[（1+）x]2，

解得：AB=x，

BE=x，

∴==，

故③错误；

④∵Rt△EBC与Rt△EHC共斜边EC，

∴S△EBC：S△EHC=（BE×BC）：（HE×HC）

=（EC×sin15°×EC×cos15°）：（EC×sin30°×EC×cos30°）

=（EC×sin30°）：（EC×sin60°）

=EH：CH

=AH：CH，故此选项正确．

故其中结论正确的是①②④．

故选B．