Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．

1.试说明：∠CBE＝36°

2.试说明：AE²＝AC·EC

Answer

1.∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA=EB，

∴∠EBA=∠A=36°．（1分）

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°．（2分）

∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=36°．（3分）

2.由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，

∴∠BEC=∠C=72°，

∴BC=BE=AE．（4分）

在△ABC与△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BEC．（6分）

∴，

即BC2=AC•EC．（7分）

故AE2=AC•EC．（8分）

【解析】（1）由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，进而可求出∠ABC=∠C，易求解．

（2）先由（1）的结论可证得△ABC∽△BEC，根据比例即可证明．