Question

 正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，连接GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点．

(1) 求证：△ABE≌△BCF；

 (2) 若正方形边长为4，AH =，求△AGD的面积．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】证明：(1) 正方形ABCD中，∠ABE=90°，

∴∠1+∠2 = 90°，

又AE⊥BF，

∴∠3+∠2 = 90°，

则∠1=∠3            

又∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC

在△ABE和△BCF中，

    ∴△ABE≌△BCF(ASA) ··················· ·5分

(2) 延长BF交AD延长线于M点，∴∠MDF=90°

由 (1) 知 △ABE≌△BCF，∴CF = BE

∵E点是BC中点，∴BE =BC，即CF =CD = FD，

在△BCF和△MDF中，

    ∴△BCF≌△MDF(ASA) 

∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中点························· 9分

又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，

∴GD =AM = AD

又正方形边长为4，∴GD = 4

S△AGD=GD·AH=×4×=   12分

（1）易得∠1=∠3，这两个三角形中都有一个角是直角，加上正方形的边长相等，利用角边角可得这两个三角形全等；

（2）求得DG的长就可以求得△AGD的面积．易得F为CD的中点，延长BF交AD的延长线于点M，可构造出△BCF≌△MDF，那么可得DM=BC=AD，就可以求得GD的长，也就求得了△AGD的面积