Question

（14分）在研究勾股定理时，同学们都见到过图1，∠，四边形、、都是正方形.

⑴连结、得到图2，则△≌△，此时两个三角形全等的判定依据是

  ▲  ；过作⊥于，交于，则_△；同理_△，得，然后可证得勾股定理.

⑵在图1中，若将三个正方形“退化”为正三角形，得到图3，同学们可以探究△、△、△的面积关系是      ▲    .

⑶为了研究问题的需要，将图1中的△也进行“退化”为锐角△，并擦去正方形得图4，由两边向三角形外作正△、正△，△的外接圆与交于点，此时、、共线，从△内一点到、、三个顶点的距离之和最小的点恰为点（已经被他人证明）.设＝3，＝4，.求的值.

Answer

（1）（2）.⑶

【解析】（1） 

（2）.

（3）在上截取＝，连.

∵为正三角形，

＝＝＝3.

∴∠60°, ∠60°.

∴为正三角形

∴＝＝

∴∠60°.

∴∠180°－∠180°－60°＝120°.

∠∠＋∠60°＋60°＝120°.

∴△≌△

∴＝

∴＋＋＝＋＋＝AD

在△中，＝3，＝4，∠＝∠＋∠＝120°.

可求得：＝.

即＋＋＝