Question

已知如图1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角边AC和AE重叠在一起，AD＝AE，∠B＝30°，∠DAE＝∠ACB＝90°.

（1）如图1，填空：∠BAD＝        ；＝           ；

（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使AE到AB边上，∠ACH＝∠BCH，连接BH，求∠CBH的度数；

（3）如图3，点P是BE上一点，过A、E两点分别作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分别为N、M，若EM＝2，AN＝5，求△AND的面积.

Answer

（1）150º，；…………(2分)

（2）连结CE、AH，如图2， 先证等边△ACE，

得AE＝AC，∠AEC＝∠ACE＝60º…(3分)

而∠AEH＝∠ACH＝45º ∴∠HEC＝∠HCE＝15º

∴HE＝HC……………………………(4分)

再证△AEH≌△ACH ………………… (5分)

∴AH平分∠BAC，又CH平分∠ACB，∴BH平分∠ABC，则∠CBH＝15º (6分)

（3）如图3，作EF⊥AN于F，DG⊥AN于G，可得矩形MEFN………… (7分)

可证△AEF≌△DAG……………………………………………………… (8分)

∴DG＝AF＝AN－EM＝5－2＝3. ……………………………………… (9分)

∴S△AND＝AN•DG＝×5×3＝……………………………………… (10分

【解析】（1）先求出∠BAC的度数，然后得出∠BAD的度数，先求BC、CD等于多少CA，然后就能求出的值；

（2）连结CE、AH， 先证等边△ACE，然后再证△AEH≌△ACH，得出H点是内心，从而解出∠CBH的值；

（3）先证△AEF≌△DAG，然后利用边的关于求出DG，再利用三角形的面积公式求出。