Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD＝3，cos∠BCD＝.

（1）求证：CD∥BF；

（2）求⊙O的半径；

（3）求弦CD的长.

Answer

（1）∵BF切⊙O于点B， ∴BF⊥OB………………………(1分)

                  又∵AB⊥CD于E， ∴∠AED＝∠ABF＝90º…………(2分)

                  ∴CD∥BF…………………………………………………(3分)

（2）作OH⊥AD于H，则AH＝AD＝…………………………………(4分)

          在Rt△AOH中，AH＝，cosA＝cos∠BCD＝

          ∴AO＝×＝2，即半径为2………………………………………(6分)

（3）在Rt△ADE中，AD＝3，cosA＝ ∴AE＝3×＝………………(7分)

     在Rt△ODE中，OD＝2，OE＝－2＝  ∴DE＝…………(8分)

     ∴CD＝2DE＝………………(9分)

【解析】1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF；

（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD= ，所以cos∠BAD= = ，然后利用三角函数即可求出⊙O的半径；

（3）由于cos∠DAE= = ，而AD=3，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．