Question

如图，一条直线与反比例函数y=  的图象交于A(,2)，B(2,n)两点，与轴交于D点， AC⊥轴，垂足为C．

(1)如图甲，反比例函数的解析式为：______________；点D坐标为___________；

(2)如图乙，若点E在线段AD上运动，连结CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点．

①试说明△CDE∽△EAF；

②当△ECF为等腰三角形时，请求出F点的坐标．

Answer

（1）① y =  …………1分        ②D (,0) ………1分

（2）①证明略.…2分

②F1(,2)；F2(,1)；F3(,4－2)………3分(共7分)

【解析】（1）因为反比例函数图像过点A(,2)，所以，所以反比例函数解析式为

            y = ，令，则，所以，B（2，），设直线解析式为，

           把A、B两点坐标代入，可得，所以直线解析式为

           当时，，故D点坐标为(,0)

①  证明：∵A（,2），D（，0），AC⊥x轴

∴C（，0）

∴AC=CD=2，

即∠ADC=∠CAD=45°，

∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，

∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，

∴∠ECD=∠AEF，

△CDE和△EAF的两角对应相等，

∴△CDE∽△EAF．

②当CE=FE时，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=2，∴F1(,2)

当CE=CF时，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此时E与D重合，∴F与A重合∴F2(,1)

当CF=EF时，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，显然F为AC中点∴F3(,4－2)

当△ECF为等腰三角形时，点F的坐标为F1(,2)；F2(,1)；F3(,4－2)