Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．

1.求EG的长

2.求证：CF ＝AB ＋AF

Answer

1.解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，

∴∠DBC＝∠DCB＝45°，

∴CD＝DB＝2，∴CB＝＝2，

∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝CB＝．（2分）

2.证明：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，

∴∠CDF＝∠BDH＝90°，

∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，

∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，DF＝DH， CF＝ BH＝BA＋AH，

∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，∠HDA＝∠DCB＝45°，

∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，

∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，

又CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF．（6分）

【解析】（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2 ，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；

（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案