Question

.(本题12分)

已知抛物线y=ax2+bx+c经过P（，3），E（，0）及原点O（0，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧

且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y

轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC（如图）．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连接OQ，矩形OABC内的四个三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系，为什么？

Answer

 【解析】
（1）由已知可得：

解之得，a=-，b=，c=0．

因而得，抛物线的解析式为：y=-x2+x．

（2）存在．

设Q点的坐标为（m，n），则，

要使△OCP∽△PBQ，

则有，即，

解之得，m1=3，m2=．

当m1=时，n=2，即为P点，

所以得Q（2，2）

要使△OCP∽△QPB，则有，即

解之得，m1=3，m2=，

当m=时，即为P点，

当m1=3时，n=-3，

所以得Q（3，-3）．

故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．Q点的坐标为（2，2），（3，-3）．

（3）在Rt△OCP中，

因为tan∠COP=

所以∠COP=30度．

当Q点的坐标为（2，2）时，∠BPQ=∠COP=30度．

所以∠OPQ=∠OCP=∠B=∠QAO=90度．

因此，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．

又在Rt△OAQ中，

因为tan∠QOA=．

所以∠QOA=30度．

即有∠POQ=∠QOA=∠QPB=∠COP=30度．

所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA，

又因为QP⊥OP，QA⊥OA∠POQ=∠AOQ=30°，

所以△OQA≌△OQP．

【解析】此题是二次函数的综合题，知识点较多，有一定难度。