Question

在Rt中，，，，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于点E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，且PM=PN，．

1.（1）如图①，当点E与点C重合时，求MP的长；

2.（2）设，△ENB的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出当x取何值时，y有最大值，最大值是多少？

Answer

1.【解析】
（1）∵在Rt中，，，，

∴．  …………………………1分

由面积公式可得  ．

∴． ……………………………………2分

∵PE⊥AB，，

∴

2.（2）分两种情况考虑：

    ①当点在线段AC上时，如图②，

 在Rt△AEP和Rt△ABC中，

∵，，

∴△APE∽△ACB．

∴，即 ，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．………………4分

当点E与点C重合时，．

∴自变量x的取值范围是：． …………………………………5分

②当点在线段BC上时，如图③，

在Rt△BPE和Rt△BCA中，

∵，，

∴△BPE∽△BCA．

∴，即 ，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

y与x的函数关系式为 ……………6分

当点在线段AC上时，，

此时，当时，y有最大值为．

而当点在线段BC上时，y的最大值为点E与点C重合时，显然没有大．

∴当时，y有最大值，最大值为．

【解析】略