Question

已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。

1.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

2.（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB  的大小。

Answer

1.（1）①如图11，作AE⊥PB于点E．

              ∵ △APE中，∠APE=45°，，

              ∴ ，

                 ．

              ∵ ，

              ∴ ．

              在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴ ．…………1分

            ②解法一：如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△，

可得△≌△，,．

       ∴ =90°，=45°，=90°．

                     ∴ ．分

                     ∴ ．…………2分

               解法二：如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的   延长线交PB于G．

                      在Rt△AEG中，可得

，

，．

                      在Rt△PFG中，可得，．

                      在Rt△PDF中，可得

                                            ．

2.（2）如图14所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△， PD 的最大值即为的最大值.

∵ △中，，，，

且P、D两点落在直线AB的两侧，

∴ 当三点共线时，取得最大值（见图15）.

        此时，即的最大值为6. …………4分

         此时∠APB=180°－=135°. …………5分

【解析】略